วันพฤหัสบดีที่ 19 มกราคม พ.ศ. 2555

ค่ามาตรฐาน

ค่ามาตรฐานเป็นค่าที่บอกให้ทราบความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลนั้นกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้นเป็นกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สูตร ZI =

เมื่อ Zi คือ คะแนนมาตรฐาน
XI คือ คะแนนดิบของข้อมูลที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่จะแปลเป็นคะแนนมาตรฐาน

คือ มัชฌิมเลขคณิต

S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ในการเปรียบเทียบค่าคะแนนของข้อมูลที่มาจากข้อมูลต่างชุดกัน ว่าจะมีความแตกต่างกันอย่างไร ซึ่งบางครั้งไม่สามารถเปรียบเทียบได้โดยตรง เพราะมัชฌิมเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลมักจะไม่เท่ากัน ในการเปรียบเมียบให้มีความถูกต้องจึงมีความจำเป็นของการเปลี่ยนคะแนนของข้อมูลทั้งสองชุดนั้นให้เป็นคะแนนมาตรฐาน ( ซึ่งมีมัชฌิมเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากันเสียก่อน ) จึงจะเปรียบเทียบข้อมูล 2 ชุดนี้ได้ ในการเปลี่ยนค่าของข้อมูลของตัวแแปรหรือข้อมูลแต่ละตัวให้เป็นค่ามาตรฐานที่นิยมใช้คือเปลี่ยนให้มีค่ามัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 1

ข้อสังเกต
1.คะแนนมาตรฐานเป็นตัวเลขไม่มีหน่วย
2.ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานทั้งหมดของชุดข้อมูล จะมีค่าเท่ากับ 1
3.คะแนนมาตรฐานของข้อมูลใดๆ จะเป็นบวก หรือลบก็ได้ขึ้นอยู่กับค่าของข้อมูลนั้นๆ กับมัชฌิมเลข ของข้อมูลชุดนั้นว่าค่าใดมีค่ามากกว่ากัน
4.คะแนนมาตรฐานโดยทั่วไปจะมีค่า –3 ถึง +3 แต่อาจจะมีบางข้อมูลที่มีคะแนนมาตรฐานสูงหรือต่ำกว่านี้เล็กน้อย
5.เมื่อแปลงข้อมูลทุกๆ ค่าในข้อมูลชุดใดชุดหนึ่งให้เป็นคะแนนมาตรฐานแล้วทำค่ามาตรฐานเหล่านั้นมาคำนวณหาค่ามัชฌิมเลขคณิตจะได้เท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้เท่ากับ 1 ( คะแนนมาตรฐานจะมีมัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 )
6.ถ้า จะได้ Z > 0 และถ้า จะได้ Z< 0

ตัวอย่างที่ 1
สายใจสอบวิชาสถิติและภาษาอังกฤษ ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนนเท่ากัน ในการสอบสายใจได้คะแนน 75 และ 85 คะแนนตามลำดับ ถ้าค่ามัชฌิมเลขคณิตและส่วนเเบี่ยงเบนมาาตรฐานของคะแนนสถิติของนักศึกษากลุ่มนี้คือ 60 และ 10 ค่ามัชฌิมเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของวิชาภาษาอังกฤษคือ 70 และ 12 ตามลำดับ แล้วจงเปรียบเทียบว่าสายใจเรียนวิชาไหนได้ดีกว่ากัน

สูตร Z =

วิธีทำ
ค่ามาตรฐานของคะแนนวิชาสถิติ คือ --------------= 1.5

ค่ามาตรฐานของคะแนนวิชาภาษาอังกฤษ คือ

= 1.25

ค่ามาตรฐานของคะแนนวิชาสถิติของสายใจสูงกว่าค่ามาตรฐานของคะแนนวิชาภาษาอังกฤษ แสดงว่าสายใจเรียนวิชาสถิติได้ดีกว่าวิชาภาษาอังกฤษ

ตัวอย่างที่ 2
ในการสอบวิชาบัญชีของนักศึกษาระดับปริญญาตรีกลุ่มหนึ่ง มีค่ามัชฌิมเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 64 และ 10 ตามลำดับ ถ้าค่ามาตรฐานของคะแนนวิชาบัญชีของ เพชรมณีคือ 1.3 อยากทราบว่าเพชรมณีสอบได้คะแนนเท่าไร
วิธีทำ ค่ามาตรฐาน ZI =

แทนค่า 1.3 =

X =

= 77

เพชรมณีสอบวิชาบัญชีได้คะแนน 77 คะแนน

ตัวอย่างที่ 3

ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักศึกษาปริญญาตรีแผนกการตลาดและแผนกบัญยชี ซึ่งวสา นักศึกษาแผนกบัญชีสอบได้ 85 คะแนน ในแผนกบัญชีมีค่ามัชฌิมเลขคณิต 70 ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 และสุธี นักศึกษาแผนกการตลาดสอบได้ 75 คะแนนในแผนกการตลาดมีค่ามัชฌิมเลขคณิต 60 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 จงหาว่า วสาและสุธี ใครเรียนวิชาคณิตศาสตร์ได้ดีกว่ากัน
วิธีทำ
แปลงคะแนนดิบของวสาและสุธี ให้เป็นคะแนนมาตรฐาน โดยใช้ค่า ----และ S.D. ของแต่ละแผนกที่ทั้งสองเรียนอยู่

ZI =

คะแนนมาตรฐานของวสา =------------- = 1.5
คะแนนมาตรฐานของสุธี = 1.

ดังนั้น จากการเปรียบเทียบคะแนนมาตรฐานของวสาจะสูงกว่าของสุธี แสดงว่า วสาจะเรียนวิชาคณิตศาสตร์ได้ดีกว่าสุธี

วงกลม

บทนิยามของวงกลม

วงกลม คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเดียวกันเป็นระยะทางเท่าๆกัน

ส่วนต่างๆของวงกลม

1. จุดคงที่ O เรียกว่า จุดศูนย์กลาง

2. ส่วนของเส้นตรง OC เรียกว่า รัศมี

3. ส่วนของเส้นตรง DE เรียกว่า คอร์ด

4. ส่วนของเส้นตรง AB เรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลาง

5. ส่วนของเส้นตรง OX เรียกว่า ระยะที่คอร์ดห่างจากจุดศูนย์กลาง

ทฤษฎีเกี่ยวกับคอร์ดของวงกลม

1. ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่ง ไปยังจุดกึ่งกลางของคอร์ดใดๆ ( ที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น ) จะตั้งฉากกับคอร์ด

2. ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งไปตั้งฉากกับคอร์ดใดๆของวงกลม จะแบ่งครึ่งคอร์ดนั้น

3. เส้นตรงซึ่งแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลมใดๆ จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น

4. มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

5. ในวงกลมเดียวกัน หรือวงกลมที่เท่ากัน คอร์ดที่ยาวเท่ากัน ย่อมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

6. ในวงกลมเดียวกัน หรือวงกลมที่เท่ากัน คอร์ดที่ยาวย่อมอยู่ใกล้ จุดศูนย์กลางของวงกลมมากกว่าคอร์ดที่สั้น

7. ส่วนของเส้นตรงที่ลากต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่ตัดกันย่อมแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดร่วม

ส่วนโค้งและมุมในวงกลม

บทนิยาม

1. ครึ่งวงกลม คือ ระนาบที่ประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและครึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม

2. ส่วนโค้ง คือ ส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม ถ้าเส้นรอบวงถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วนไม่เท่ากันส่วนโค้งที่ยาว เรียกว่า ส่วนโค้งใหญ่ และ ส่วนโค้งที่สั้น เรียกว่า ส่วนโค้งน้อย

3. ส่วนของวงกลม คือ ระนาบที่ประกอบด้วยคอร์ดกับส่วนโค้งของวงกลม

4. มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่ที่จุดศูนย์กลางและมีรัศมี 2 เส้น เป็นแขนของมุม

5. มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลมและมีแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม

1. ส่วนโค้ง ACB เรียกว่า ส่วนโค้งใหญ่

2. ส่วนโค้ง ADB เรียกว่า ส่วนโค้งน้อย

3. พื้นที่ F เรียกว่า ครึ่งวงกลม

1. มุม C เรียกว่า มุมในส่วนโค้งของวงกลม

2. มุม O เรียกว่า มุมที่จุดศูนย์กลาง

ทฤษฎีเกี่ยวกับส่วนโค้งและมุมในวงกลม

1. มุมที่จุดศูนย์กลางย่อมทีขนาดเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

2. มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาวเท่ากัน ย่อมมีขนาดเท่ากัน

3. สี่เหลี่ยมที่แนบอยู่ในวงกลม มุมตรงข้ามรวมกันย่อมเท่ากับสองมุมฉาก

4. สี่เหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามรวมกันเป็นสองมุมฉาก วงกลมย่อมผ่านได้

5. ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมที่บรรจุในวงกลมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นย่อมเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงกันข้าม

6. มุมภายในครึ่งวงกลมย่อมเป็นมุมฉาก

7. ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากัน มุมที่อยู่บนส่วนโค้งที่ยาวเท่ากันย่อมมีขนาดเท่ากัน

8. ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากัน ส่วนโค้งซึ่งอยู่ตรงกันข้ามกับมุมที่เท่ากันย่อมยาวเท่ากัน

เส้นสัมผัส

บทนิยาม

1. เส้นผ่านวง คือ เส้นตรงที่ลากตัดเส้นรอบวงของวงกลม 2 จุด

2. เส้นสัมผัส คือ เส้นตรงที่ลากตัดเส้นรอบวงของวงกลมเพียงจุดเดียว จุดนี้เรียกว่า จุดสัมผัส

3. เส้นสัมผัสร่วม คือ เส้นตรงที่สัมผัสวงกลมตั้งแต่สองวงขึ้นไป

1. ส่วนของเส้นตรง AB เรียกว่า เส้นผ่านวง

2. ส่วนของเส้นตรง CD เรียกว่า เส้นสัมผัส

3. จุด E เรียกว่า จุดสัมผัส

ทฤษฎีเกี่ยวกับเส้นสัมผัส

1. เส้นสัมผัสวงกลมย่อมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

2. จากจุดๆหนึ่งภายนอกวงกลม ลากเส้นสัมผัสวงกลมได้สองเส้นยาวเท่ากัน และต่างรองรับมุมที่ จุดศูนย์กลางเท่ากันด้วย

3. วงกลมสองวงสัมผัสกัน จุดสัมผัสกับจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองย่อมอยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน

4. มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัส ทำกับปลายคอร์ดที่จุดสัมผัส ย่อมเท่ากับมุมในส่วนของวงกลม ที่อยู่ตรงกันข้าม

ระบทพิกัดฉากสามมิติ

ระบทพิกัดฉากสามมิติ

กำหนดเส้นตรง XX' , YY' และ ZZ' เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด O และตั้งฉากซึ่งกันและกันโดยกำหนด ทิศทางของเส้นตรงทั้งสามเป็นระบบมือขวา ดังรูป 1

รูป 1

ถ้าเส้นตรงทั้งสามเป็นเส้นจำนวน (real line) จะเรียกเส้นตรง XX' , YY' และ ZZ' ว่า แกนพิกัด X แกนพิกัด Y และ แกนพิกัด Z หรือเรียนสั้นๆ ว่า แกน X (x-axis) แกน Y (y-axis) และ แกน Z (z-axis) และเรียนจุด O ว่า จุดกำเนิด (origin) ดังรูป 2

รูป 2

เรียกส่วนของเส้นตรง OX OY และ OZ ว่า แกน X ทางบวก (positive x-axis) แกน Y ทางบวก (positive y-axis) และ แกน Z ทางบวก (positive z-axis) และเรียกส่วนของเส้นตรง OX' OY'และ OZ' ว่า แกน X ทางลบ (negative x-axis) แกน Y ทางลบ (negative y-axis) และ แกน Zทางลบ (negative z-axis)

โดยทั่วไปเมื่อเขียนรูปแกนพิกัดในสามมิติ นิยมเขียนเฉพาะ แกน X แกน Y และ แกน Z ที่เน้นเฉพาะทางด้านที่แทนจำนวนจริงบวกซึ่งมีหัวลูกศรกำกับ ดังรูป 3 หรือ รูป 4

รูป 3 รูป 4

แกน X แกน Y และ แกน Z จะกำหนดระนาบขึ้น 3 ระนาบ เรียกว่า ระนาบอ้างอิง

• เรียกระนาบที่กำหนดด้วย แกน X และแกน Y ว่า ระนาบอ้างอิง XY หรือ ระนาบ XY

• เรียกระนาบที่กำหนดด้วย แกน X และแกน Z ว่า ระนาบอ้างอิง XZ หรือ ระนาบ XZ

• เรียกระนาบที่กำหนดด้วย แกน Y และแกน Z ว่า ระนาบอ้างอิง YZ หรือ ระนาบ YZ (ดังรูป 5)

รูป 5

ระนาบ XY ระนาบ YZ และระนาบ XZ ทั้งสามระนาบ จะแบ่งปริภูมิสามมิติ ออกเป็น 8 บริเวณ คือ เหนือระนาบ XY จำนวน 4 บริเวณ และใต้ระนาบ XY จำนวน 4 บริเวณ เรียกแต่ละบริเวณว่า อัฒภาค (octant) ดังรูปที่ 6 อัฒภาคที่บรรจุ แกน X แกน Y และแกน Z ทางบวกจะเรียกว่า อัฒภาคที่ 1 ส่วนอัฒภาคอื่นๆ จะใช้ข้อตกลงเดียวกับในระบบพิกัดฉากสองมิติ (นับทวนเข็มนาฬิกา) โดยพิจารณาบริเวณเหนือระนาบ XY ก่อน

รูป 6

จำนวนจริง ( Real Number )

จำนวนจริงชนิดต่าง ๆ

จำนวนนับ เป็นจำนวนชนิดแรกที่มนุษย์คิดขึ้นเพื่อใช้นับจำนวนสัตว์เลี้ยง เซตของจำนวนนับเขียนได้ดังนี้ N = { 1 , 2 , 3 , 4 , … }

จำนวนเต็ม เมื่อสังคมของมนุษย์เจริญมากขึ้น จนวนนับก็ไม่เพียงพอแก่การนำไปใช้ จึงได้มรการคิดจำนวนชนิดใหม่ขึ้นโดยการนำจำนวนนับ 2 จำนวนมาลบกัน ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่า “จำนวนเต็ม” ซึ่งแบ่งเป็น 3 อย่างคือ

1) จำนวนเต็มบวก เกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่ามากกว่าตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มบวกแทนด้วย I⁺ = { 1 , 2 , 3 , … }

2) จำนวนเต็มศูนย์ เกิดจากการลบที่ตัวตั้งเท่ากับตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มศูนย์ = { 0 } มีสมาชิกตัวเดียว

3) จำนวนเต็มลบเกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มลบแทนด้วย I^- = { -1 , -2 , -3 , … }

Note .::. จำนวนเต็ม = I = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }

3. จำนวนตรรกยะ เกิดจากการนำจำนวนเต็ม 2 จำนวนมาหารกัน โดยที่ตัวหารไม่เท่ากับ 0 อาจกล่าวได้ว่าจำนวนตรรกยะคือ จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนได้
เซตของจำนวนตรรกยะเขียนได้ดังนี้

Q = { | เป็นจำนวนเต็ม และ }

Note .::.

1) จำนวนตรรกยะมีทั้งที่เป็นบวก เป็นศูนย์ และเป็นลบ 2) จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เพราะเขียนในรูปเศษส่วนได้

3) จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ กับจำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำทุกจำนวน เป็นจำนวนตรกกยะ เพราะแปลงเป็นเศษส่วนได้

4. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนไม่ได้ ซึ่งได้แก่จำนวนที่ติดรากแต่ถอดรากไม่ได้ กับจำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เช่น

5. จำนวนจริง คือ เซตของจำนวนที่เกิดจากการนำเซตของจำนวนตรรกยะยูเนียนกับเซตของจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยเซต

ตรรกศาสตร์ของข้อความบ่งปริมาณ

บทนิยาม 1.1   ประพจน์บ่งปริมาณ คือ ประโยตเปิดที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ และมีตัวบ่งปริมาณกำกับอยู่ด้วย
1.1 ประพจน์บ่งปริมาณที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว
         ประพจน์บ่งปริมาณ แบ่งได้เป็น 2 แบบ ตามลักษณะของสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่นำมาแทนตัวแปร

         แบบที่1  กำหนดให้สมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนตัวแปร วลีแบบนี้ คือ " สำหรับทุก " หรือ " สำหรับแต่ละ " ( for all or for each )
   เรียกว่าเป็น ตัวบ่งปริมาณ " ทั้งหมด " ( Universal quantifier ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "

  "
        ถ้า   P(x) เป็นข้อความฟังก์ชั่น และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x สำหรับทุก x , P(x)
   เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

หรือ

แบบที่ 2 กำหนดให้สมาชิกบางตัว (หรืออย่างน้อยหนึ่งตัว) มาแทนตัวแปร วลีแบบนี้ คือ " สำหรับบาง " หรือ " สำหรับอย่างน้อยหนึ่ง "หรือ " มีอย่างน้อยหนึ่ง " ( for some or there exist ) เรียกว่าเป็นตัวบ่งปริมาณ " มีอย่างน้อยหนึ่ง " ( existential quantifier )
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "

  "
        ถ้า   P(x) เป็นประโยคเปิด และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x สำหรับบาง   x , P(x)
   เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

หรือ

นอกจากนี้ ยังมีตัวบ่งปริมาณ " สำหรับบาง " ที่เฉพาะเจาะจงลงไปอีก คือ วลี " มีและมีอย่างมากเหียงหนึ่ง " หรือ " มีเพียงหนึ่ง " ( there is at most one or there exists a unique ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "

"
เช่น " มีจำนวนเต็ม x เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง x + 3 = 5 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

1.1.1 ค่าความจริงของ

บทนิยาม 1.2

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a) มีค่าความจริงเป็นจริง
บทนิยาม 1.3

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก b บางตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

1.1.2 ค่าความจริงของ

บทนิยาม 1.4

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a อย่างน้อยหนึ่งตัวของเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่ง P(a) มีค่าความจริงเป็นจริง
บทนิยาม 1.5

   มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก b ทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
หมายเหตุ    1. สำหรับประโยคเปิด P(x) ใด ๆ ที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ ไม่เป็นเซตว่าง จะได้ว่า

   เป็นจริงเสมอ
   2. ในกรณีที่ประพจน์บ่งปริมาณ มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แฝงอยู่
                        2.1) โดยทั่วไป จะใช้ตัวเชื่อม " ถ้า........แล้ว " ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ " ทั้งหมด "

2.2) จะใช้ตัวเชื่อม " และ " ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ "

1.1.3 นิเสธของประพจน์บ่งปริมาณที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว

ทฤษฎีบท 1.1

เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.2

เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.3

เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.4

เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.5 1)

1.2 ประพจน์บ่งปริมาณที่มีสองตัวแปร

บทนิยาม 1.6 เมื่อให้ P(x,y) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และ y
1)

หมายถึง

นั่นคือ

หมายความว่า สำหรับทุก x สำหรับทุก y มีเงื่อนไข P(x,y)
2)

หมายถึง

นั่นคือ

หมายความว่า สำหรับทุก x มีบาง y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
3)

หมายถึง

นั่นคือ

หมายความว่า มีบาง x ที่สำหรับทุก y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
4)

หมายถึง

นั่นคือ

  หมายความว่า   มีบาง x มีบาง y   ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
หมายเหตุ   ถ้า A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x และ y ตามลำดับ เราอาจจะเขียน

เป็น

1.3 ค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณที่มี 2 ตัวแปร

จากบทนิยาม 1.6 จะได้ว่า

และ

  มีค่าความจริงอันเดียวกัน
                     ถ้าให้   A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x และ y ตามลำดับ

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของ A จะได้

มีค่าความจริงเป็นจริง
เนื่องจาก

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน y ด้วยสมาชิก b ทุกตัวของ B จะได้

มีค่าความจริงเป็นจริง
ดังนั้น

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน x และ y ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของ A และ b ทุกตัวของ B
จะได้

มีค่าความจริงเป็นจริง

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a บางตัวของ A ซึ่งทำให้

มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เนื่องจาก

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก b บางตัวของ B จะได้

มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ดังนั้น

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a บางตัวของ A และ b บางตัวของ B
ซึ่งทำให้

มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ด้วยเหตุผลที่แสดงมาแล้วนี้ สามารถสรุปค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณ ที่มี 2 ตัวแปร ดังนี้

ทฤษฎีบท 1.6 ให้ P(x,y) เป็นประโยคเปิดที่มี A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปร x และ y ตามลำดับ

1)

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A และแต่ละสมาชิก b ของ B จะได้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว และมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
ซึ่งทำให้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

  มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A จะต้องมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
             ซึ่งทำให้    P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว เมื่อพิจารณาร่วมกับแต่ละสมาชิก b ของ B
จะได้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

  มีค่าความจริงเป็นจริง   ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว เมื่อพิจารณาร่วมกับแต่ละสมาชิก b ของ B
             จะได้    P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A จะต้องมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
ซึ่งทำให้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

  มีค่าความจริงเป็นจริง   ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว และมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
             ซึ่งทำให้    P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง