bebie zii: ตรรกศาสตร์ของข้อความบ่งปริมาณ

บทนิยาม 1.1   ประพจน์บ่งปริมาณ คือ ประโยตเปิดที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ และมีตัวบ่งปริมาณกำกับอยู่ด้วย
1.1 ประพจน์บ่งปริมาณที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว
         ประพจน์บ่งปริมาณ แบ่งได้เป็น 2 แบบ ตามลักษณะของสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่นำมาแทนตัวแปร

         แบบที่1  กำหนดให้สมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนตัวแปร วลีแบบนี้ คือ " สำหรับทุก " หรือ " สำหรับแต่ละ " ( for all or for each )
   เรียกว่าเป็น ตัวบ่งปริมาณ " ทั้งหมด " ( Universal quantifier ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "

  "
        ถ้า   P(x) เป็นข้อความฟังก์ชั่น และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x สำหรับทุก x , P(x)
   เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

หรือ

แบบที่ 2 กำหนดให้สมาชิกบางตัว (หรืออย่างน้อยหนึ่งตัว) มาแทนตัวแปร วลีแบบนี้ คือ " สำหรับบาง " หรือ " สำหรับอย่างน้อยหนึ่ง "หรือ " มีอย่างน้อยหนึ่ง " ( for some or there exist ) เรียกว่าเป็นตัวบ่งปริมาณ " มีอย่างน้อยหนึ่ง " ( existential quantifier )
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "

  "
        ถ้า   P(x) เป็นประโยคเปิด และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x สำหรับบาง   x , P(x)
   เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

หรือ

นอกจากนี้ ยังมีตัวบ่งปริมาณ " สำหรับบาง " ที่เฉพาะเจาะจงลงไปอีก คือ วลี " มีและมีอย่างมากเหียงหนึ่ง " หรือ " มีเพียงหนึ่ง " ( there is at most one or there exists a unique ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "

"
เช่น " มีจำนวนเต็ม x เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง x + 3 = 5 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

1.1.1 ค่าความจริงของ

บทนิยาม 1.2

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a) มีค่าความจริงเป็นจริง
บทนิยาม 1.3

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก b บางตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

1.1.2 ค่าความจริงของ

บทนิยาม 1.4

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a อย่างน้อยหนึ่งตัวของเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่ง P(a) มีค่าความจริงเป็นจริง
บทนิยาม 1.5

   มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก b ทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
หมายเหตุ    1. สำหรับประโยคเปิด P(x) ใด ๆ ที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ ไม่เป็นเซตว่าง จะได้ว่า

   เป็นจริงเสมอ
   2. ในกรณีที่ประพจน์บ่งปริมาณ มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แฝงอยู่
                        2.1) โดยทั่วไป จะใช้ตัวเชื่อม " ถ้า........แล้ว " ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ " ทั้งหมด "

2.2) จะใช้ตัวเชื่อม " และ " ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ "

1.1.3 นิเสธของประพจน์บ่งปริมาณที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว

ทฤษฎีบท 1.1

เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.2

เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.3

เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.4

เป็นสัจนิรันดร์
ทฤษฎีบท 1.5 1)

1.2 ประพจน์บ่งปริมาณที่มีสองตัวแปร

บทนิยาม 1.6 เมื่อให้ P(x,y) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และ y
1)

หมายถึง

นั่นคือ

หมายความว่า สำหรับทุก x สำหรับทุก y มีเงื่อนไข P(x,y)
2)

หมายถึง

นั่นคือ

หมายความว่า สำหรับทุก x มีบาง y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
3)

หมายถึง

นั่นคือ

หมายความว่า มีบาง x ที่สำหรับทุก y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
4)

หมายถึง

นั่นคือ

  หมายความว่า   มีบาง x มีบาง y   ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
หมายเหตุ   ถ้า A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x และ y ตามลำดับ เราอาจจะเขียน

เป็น

1.3 ค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณที่มี 2 ตัวแปร

จากบทนิยาม 1.6 จะได้ว่า

และ

  มีค่าความจริงอันเดียวกัน
                     ถ้าให้   A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x และ y ตามลำดับ

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของ A จะได้

มีค่าความจริงเป็นจริง
เนื่องจาก

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน y ด้วยสมาชิก b ทุกตัวของ B จะได้

มีค่าความจริงเป็นจริง
ดังนั้น

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน x และ y ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของ A และ b ทุกตัวของ B
จะได้

มีค่าความจริงเป็นจริง

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a บางตัวของ A ซึ่งทำให้

มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เนื่องจาก

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก b บางตัวของ B จะได้

มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ดังนั้น

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a บางตัวของ A และ b บางตัวของ B
ซึ่งทำให้

มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ด้วยเหตุผลที่แสดงมาแล้วนี้ สามารถสรุปค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณ ที่มี 2 ตัวแปร ดังนี้

ทฤษฎีบท 1.6 ให้ P(x,y) เป็นประโยคเปิดที่มี A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปร x และ y ตามลำดับ

1)

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A และแต่ละสมาชิก b ของ B จะได้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว และมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
ซึ่งทำให้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

  มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A จะต้องมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
             ซึ่งทำให้    P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว เมื่อพิจารณาร่วมกับแต่ละสมาชิก b ของ B
จะได้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

  มีค่าความจริงเป็นจริง   ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว เมื่อพิจารณาร่วมกับแต่ละสมาชิก b ของ B
             จะได้    P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง

มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A จะต้องมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
ซึ่งทำให้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

  มีค่าความจริงเป็นจริง   ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว และมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
             ซึ่งทำให้    P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง